在数学中，向量是一个非常重要的概念，它在几何学、物理学以及工程学等领域都有着广泛的应用。而向量的坐标表示法使得我们能够更方便地进行各种运算。这里我们就来总结一下常见的向量坐标运算公式。

首先，我们需要了解什么是向量的坐标表示。一个n维空间中的向量可以表示为一个有序数组(x₁, x₂, ..., xₙ)，其中每个xᵢ代表该向量在第i个维度上的分量。这种表示方法允许我们将向量看作是点或方向的抽象表达。

1. 向量加法与减法：

- 如果有两个向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)和B = (b₁, b₂, ..., bₙ)，那么它们的和C = A + B可以通过对应分量相加得到：C = (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中cᵢ = aᵢ + bᵢ。

- 同样地，两个向量的差D = A - B也可以通过对应分量相减获得：D = (d₁, d₂, ..., dₙ)，其中dᵢ = aᵢ - bᵢ。

2. 标量乘法：

- 当一个向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)被一个标量k乘时，结果向量E = kA的各分量均为原向量相应分量乘以该标量：E = (e₁, e₂, ..., eₙ)，其中eᵢ = k aᵢ。

3. 内积（点积）：

- 对于两个同维数的向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)和B = (b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的内积F = A·B定义为所有对应分量乘积之和：F = f₁ + f₂ + ... + fₙ，其中fᵢ = aᵢ bᵢ。

4. 外积（叉积）：

- 在三维空间里，两个向量A = (a₁, a₂, a₃)和B = (b₁, b₂, b₃)之间的外积G = A × B的结果是一个新的向量，其分量由行列式计算得出：

G = (g₁, g₂, g₃)，

其中g₁ = a₂b₃ - a₃b₂,

g₂ = a₃b₁ - a₁b₃,

g₃ = a₁b₂ - a₂b₁。

5. 模长（长度）：

- 向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)的模长|A|等于各个分量平方和的平方根：|A| = sqrt(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)。

6. 单位化：

- 若想将一个非零向量A标准化成单位向量U，则只需将其除以其自身的模长即可：U = A / |A|。

以上就是一些基本的向量坐标运算规则。掌握这些基础知识对于解决实际问题非常重要。当然，在具体应用过程中还需要结合实际情况灵活运用。希望这篇简短的文章能帮助大家更好地理解和记忆这些概念！