数学期望

数学期望（Expected Value）通常用来表示随机变量可能取值的平均结果。对于离散型随机变量 \(X\)，其数学期望 \(E(X)\) 的定义为：

\[

E(X) = \sum_{i} x_i P(x_i)

\]

其中 \(x_i\) 是随机变量 \(X\) 的所有可能取值，\(P(x_i)\) 则是对应于这些取值的概率。

而对于连续型随机变量 \(Y\)，其数学期望则通过积分来表达：

\[

E(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} y f(y) dy

\]

这里 \(f(y)\) 表示 \(Y\) 的概率密度函数。

方差

方差（Variance）衡量的是随机变量与其数学期望之间的偏离程度。它反映了数据点围绕中心位置的分散情况。方差 \(Var(X)\) 的计算公式如下：

对于离散型随机变量 \(X\)：

\[

Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i}(x_i - E(X))^2 P(x_i)

\]

对于连续型随机变量 \(Y\)：

\[

Var(Y) = E[(Y - E(Y))^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} (y - E(Y))^2 f(y) dy

\]

此外，方差也可以通过以下简化形式计算：

\[

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

\]

这一公式特别适用于实际应用中的快速计算。

总之，数学期望和方差作为统计学的基础概念，为我们提供了理解和处理不确定性问题的强大工具。无论是理论研究还是实践操作，掌握这两个概念及其计算方法都是非常必要的。