在物理学中，弹性碰撞是指在碰撞过程中没有能量损失的一种理想化模型。为了更好地理解弹性碰撞的本质，我们需要从动量守恒和能量守恒两个基本原理出发，逐步推导出相关的公式。

首先，假设我们有两个物体A和B，它们的质量分别为m₁和m₂，在一维运动中发生碰撞前后的速度分别为u₁、u₂和v₁、v₂。根据动量守恒定律，我们可以写出以下方程：

m₁ u₁ + m₂ u₂ = m₁ v₁ + m₂ v₂

接着，考虑到弹性碰撞的特点——即碰撞前后系统的总动能保持不变，因此我们还可以建立一个关于动能守恒的等式：

(1/2) m₁ u₁² + (1/2) m₂ u₂² = (1/2) m₁ v₁² + (1/2) m₂ v₂²

通过这两个基本方程，我们能够进一步简化并求解出碰撞后各物体的速度表达式。经过一系列数学运算后，最终可以得到如下结果：

v₁ = ((m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)) u₁ + ((2 m₂) / (m₁ + m₂)) u₂

v₂ = ((2 m₁) / (m₁ + m₂)) u₁ - ((m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)) u₂

这些公式清晰地展示了当两个物体发生完全弹性碰撞时，它们各自的速度如何变化。值得注意的是，上述公式仅适用于理想化的无摩擦、无外力作用的理想环境下的情况。

总之，通过对动量与能量守恒定律的应用，并结合严谨的数学推理，我们成功地得到了描述弹性碰撞现象的关键公式。这不仅加深了我们对物理学基本规律的理解，也为解决实际问题提供了坚实的理论基础。