【解一元二次不等式的步骤】在数学学习中，解一元二次不等式是常见的知识点之一。它不仅涉及代数运算，还与函数图像和数轴分析密切相关。掌握正确的解题步骤，有助于提高解题效率和准确性。以下是对解一元二次不等式的基本步骤进行的总结。
一、基本概念
一元二次不等式的一般形式为：
$$
ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0
$$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。
二、解题步骤总结
以下是解一元二次不等式的标准步骤：
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 整理不等式：将不等式化为标准形式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $。 |
| 2 | 求判别式：计算判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $，判断根的情况。 |
| 3 | 求方程的根：若 $ \Delta \geq 0 $，解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，得到两个实数根；若 $ \Delta < 0 $，则无实数根。 |
| 4 | 画数轴图：根据根的大小，在数轴上标出关键点，并划分区间。 |
| 5 | 分析符号：结合抛物线开口方向（由 $ a $ 的正负决定），判断每个区间内不等式的符号。 |
| 6 | 写出解集：根据不等号的方向，确定满足条件的区间范围。 |
三、实例解析
以不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $ 为例：
1. 整理不等式：已为标准形式。
2. 求判别式：$ \Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0 $。
3. 求方程的根：解得 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 3 $。
4. 画数轴图：在数轴上标出 2 和 3。
5. 分析符号：抛物线开口向上，因此在 $ x < 2 $ 和 $ x > 3 $ 区间内函数值为正。
6. 写出解集：解集为 $ (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) $。
四、注意事项
- 若 $ a < 0 $，抛物线开口向下，需注意符号变化。
- 若判别式小于零，即无实数根，则不等式的解集可能为全体实数或空集。
- 对于等于号（如 $ \geq $ 或 $ \leq $），需考虑端点是否包含在解集中。
通过以上步骤，可以系统地解决一元二次不等式问题。掌握这些方法，不仅能提升解题能力，还能增强对二次函数图像的理解。
