在数学和物理中，向量是一种非常重要的工具，广泛应用于力学、工程、计算机图形学等多个领域。其中，向量的乘法是向量运算中的核心内容之一，主要包括点积（数量积）和叉积（向量积）。本文将围绕向量乘法的坐标公式进行详细推导，帮助读者深入理解其背后的数学原理。
一、向量的基本概念
向量是由大小和方向共同决定的量，通常用有向线段或有序数组表示。在三维空间中，一个向量可以表示为：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)
$$
同样地，另一个向量 $\vec{b}$ 可以表示为：
$$
\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
我们接下来分别讨论点积和叉积的坐标表达式及其推导过程。
二、点积的坐标公式推导
点积（也称为数量积）的结果是一个标量，定义为两个向量模长与夹角余弦值的乘积：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta
$$
但为了便于计算，我们也可以通过向量的坐标来表示点积。根据向量的分配律和正交性，可以得到以下结论：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
$$
推导过程如下：
设单位向量分别为 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$，则任意向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 可以表示为：
$$
\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}
$$
$$
\vec{b} = b_1 \vec{i} + b_2 \vec{j} + b_3 \vec{k}
$$
计算它们的点积：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}) \cdot (b_1 \vec{i} + b_2 \vec{j} + b_3 \vec{k})
$$
利用点积的分配律和正交性（$\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$，$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ 等），展开后可得：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 (\vec{i} \cdot \vec{i}) + a_1 b_2 (\vec{i} \cdot \vec{j}) + a_1 b_3 (\vec{i} \cdot \vec{k}) + \cdots
$$
由于 $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$，其余交叉项也为零，最终得到：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
$$
这就是点积的坐标公式。
三、叉积的坐标公式推导
叉积（也称为向量积）的结果是一个向量，其方向垂直于原两向量所在的平面，大小等于两向量所形成的平行四边形面积。其定义为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \cdot \hat{n}
$$
其中 $\hat{n}$ 是垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的单位向量，方向由右手定则确定。
在坐标系下，叉积可以用行列式的形式来表示。具体公式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\vec{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{k}
$$
推导过程如下：
利用向量的线性性质，我们可以将叉积展开为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}) \times (b_1 \vec{i} + b_2 \vec{j} + b_3 \vec{k})
$$
展开后得到：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = a_1 b_1 (\vec{i} \times \vec{i}) + a_1 b_2 (\vec{i} \times \vec{j}) + a_1 b_3 (\vec{i} \times \vec{k}) + \cdots
$$
根据叉积的性质：
- $\vec{i} \times \vec{i} = 0$
- $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$
- $\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}$
- $\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$
- $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$
- $\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$
- $\vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$
将这些代入并整理，最终得到：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\vec{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\vec{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\vec{k}
$$
这就是叉积的坐标公式。
四、总结
通过对点积和叉积的坐标公式的推导，我们可以看到，向量乘法不仅是抽象概念的体现，更是可以通过坐标形式进行精确计算的工具。掌握这些公式对于理解和应用向量运算具有重要意义。
无论是物理学中的力分析、工程中的结构计算，还是计算机图形学中的旋转与投影，向量乘法都是不可或缺的基础知识。希望本文能帮助你更深入地理解向量乘法的数学本质。
