【概率公式大全】在数学与统计学中，概率是研究随机事件发生可能性的理论基础。掌握常见的概率公式对于学习统计、数据分析、机器学习等领域具有重要意义。以下是对常见概率公式的总结，以文字说明加表格形式呈现，便于查阅和理解。
一、基本概念
1. 样本空间（Sample Space）：所有可能结果的集合，通常用 S 表示。
2. 事件（Event）：样本空间的一个子集，表示某些特定结果的组合。
3. 概率（Probability）：事件发生的可能性大小，取值范围为 [0,1]。
二、基本概率公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 古典概率 | $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ | 适用于等可能事件，n(A) 是事件 A 包含的基本事件数，n(S) 是样本空间总事件数 | |||
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ | 在事件 B 发生的前提下，事件 A 发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A | B_i) $ | 当事件 A 的发生依赖于多个互斥且穷尽的事件 $ B_1, B_2, ..., B_n $ 时使用 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j)P(A | B_j)} $ | 用于已知事件 A 发生的情况下，求某个原因 $ B_i $ 发生的概率 |
| 加法公式 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 计算两个事件至少一个发生的概率 | |||
| 乘法公式 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B | A) $ | 用于计算两个事件同时发生的概率 |
三、独立事件与互斥事件
| 概念 | 定义 | 公式 |
| 独立事件 | 事件 A 和 B 的发生互不影响 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $ |
| 互斥事件 | 事件 A 和 B 不能同时发生 | $ P(A \cap B) = 0 $ |
四、期望与方差
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 数学期望（均值） | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) $ | 随机变量 X 的平均值 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量与其均值的偏离程度 |
| 标准差 | $ \sigma = \sqrt{Var(X)} $ | 方差的平方根，单位与原数据一致 |
五、常见分布的概率公式
| 分布类型 | 概率质量函数（PMF）或概率密度函数（PDF） | 说明 |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | 进行 n 次独立试验，每次成功概率为 p，成功 k 次的概率 |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | 描述单位时间内事件发生的次数，λ 为平均发生率 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 常见连续分布，描述自然现象的随机变量 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | 在区间 [a,b] 上均匀分布的随机变量的概率密度函数 |
六、总结
概率公式是统计分析的基础工具，涵盖了从简单事件到复杂随机变量的多种情况。掌握这些公式不仅有助于理解概率的本质，还能在实际问题中进行有效的建模与预测。通过表格形式整理后，可以更清晰地看到各类公式的应用场景和适用条件，方便学习与应用。
如需进一步了解某类分布或公式的推导过程，可继续深入探讨。
