【高中数学不等式公式总结】在高中数学中，不等式是一个重要的知识点，广泛应用于函数、数列、几何等多个领域。掌握常见的不等式公式及其应用方法，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。以下是对高中数学中常见不等式公式的系统总结。
一、不等式的基本性质
| 不等式性质 | 内容说明 |
| 1. 对称性 | 若 $ a > b $，则 $ b < a $ |
| 2. 传递性 | 若 $ a > b $ 且 $ b > c $，则 $ a > c $ |
| 3. 加法性质 | 若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $ |
| 4. 乘法性质 | 若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac > bc $；若 $ c < 0 $，则 $ ac < bc $ |
| 5. 同向不等式相加 | 若 $ a > b $ 且 $ c > d $，则 $ a + c > b + d $ |
| 6. 同向不等式相乘（正数） | 若 $ a > b \geq 0 $ 且 $ c > d \geq 0 $，则 $ ac > bd $ |
二、常用不等式公式
| 不等式名称 | 公式表达 | 适用范围 | ||||||
| 基本不等式（均值不等式） | $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $（当且仅当 $ a = b $ 时取等号） | $ a, b > 0 $ | ||||||
| 二次不等式 | $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ < 0 $ | $ a \neq 0 $ | ||||||
| 绝对值不等式 | $ | x | < a \Rightarrow -a < x < a $ $ | x | > a \Rightarrow x > a $ 或 $ x < -a $ | $ a > 0 $ | ||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 适用于实数或复数 |
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | $ a_i, b_i \in \mathbb{R} $ | ||||||
| 排序不等式 | 若 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则 $ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + \cdots + a_nb_1 $ | $ \sigma $ 为排列 | ||||||
| 算术-几何平均不等式 | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} $ | $ a_i > 0 $ |
三、不等式的解法技巧
1. 分式不等式：通过移项、通分、因式分解等方式转化为整式不等式。
2. 绝对值不等式：根据绝对值的定义进行分类讨论。
3. 二次不等式：先求出对应的方程的根，再结合抛物线开口方向判断解集。
4. 高次不等式：使用数轴穿根法，找出不等式的解区间。
5. 含参数的不等式：需要考虑参数的取值范围，分类讨论。
四、典型例题解析
例1：解不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $
解：
先分解因式：
$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $
令 $ (x - 2)(x - 3) > 0 $，解得：
$ x < 2 $ 或 $ x > 3 $
即解集为：$ (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) $
例2：已知 $ a > 0 $，$ b > 0 $，求证：
$ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $
证明：
由基本不等式可知：
$ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $
当且仅当 $ a = b $ 时取等号。
五、总结
不等式是高中数学的重要内容之一，涉及多个知识点和解题技巧。掌握常见的不等式公式及解法，不仅能帮助我们解决实际问题，还能提升逻辑推理能力和数学素养。建议同学们在学习过程中多做练习，熟练掌握各类不等式的应用方法。
