在概率论与数理统计中，超几何分布是一种重要的离散概率分布。它描述的是从有限数量的物品中不放回地抽取一定数量的样本时，某类特定物品出现次数的概率分布。这种分布常见于质量检测、抽样调查等领域。

假设我们有一个总体，其中包含N个物品，其中有M个是具有某种特性的物品。如果我们随机抽取n个物品作为样本，并且关心样本中具有该特性的物品数量X，则X服从超几何分布。其概率质量函数为：

\[ P(X = k) = \frac{{C(M, k) \cdot C(N-M, n-k)}}{C(N, n)} \]

其中，\( C(a, b) \) 表示组合数，即从a个不同元素中选取b个元素的方法数。

对于超几何分布，其数学期望E(X)和方差Var(X)分别有如下简洁而优雅的表达式：

\[ E(X) = n \cdot \frac{M}{N} \]

\[ Var(X) = n \cdot \frac{M}{N} \cdot (1 - \frac{M}{N}) \cdot \frac{N-n}{N-1} \]

这两个公式的推导基于超几何分布的定义及其性质。值得注意的是，当样本量n相对于总体规模N较小时（即 \( \frac{n}{N} \to 0 \)），超几何分布可以近似为二项分布。此时，方差的第三项 \((1-\frac{n}{N})\) 接近于1，简化了计算。

理解并掌握超几何分布的期望和方差公式，在实际应用中能够帮助我们更好地分析和预测相关事件的发生情况。例如，在产品质量控制中，通过这些公式可以估算出合格品或次品的数量；在市场调研中，则可用于估计目标群体的比例等信息。

总之，超几何分布不仅是理论研究的重要组成部分，也是解决实际问题的有效工具之一。熟练运用这一知识，不仅能够提升我们的专业技能，还能增强解决问题的能力。