在数学分析中，三角函数是不可或缺的一部分，而正切函数（tan x）作为基本的三角函数之一，其导数的计算显得尤为重要。本文将详细探讨如何推导出tan x的导数，并通过严谨的步骤确保理解的透彻性。

首先，我们需要明确tan x的定义。tan x = sin x / cos x，这是由三角函数的基本关系得出的。根据商的导数法则，若函数f(x) = u(x)/v(x)，则其导数为：

f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2

在这里，我们令u(x) = sin x，v(x) = cos x。因此，u'(x) = cos x，v'(x) = -sin x。将其代入上述公式，得到：

tan' x = [cos x cos x - sin x (-sin x)] / (cos x)^2

化简后，分子部分变为cos^2 x + sin^2 x，根据三角恒等式，这等于1。因此，最终结果为：

tan' x = 1 / cos^2 x

或者等价地表示为sec^2 x，因为1/cos^2 x = sec^2 x。

通过这一推导过程，我们可以清楚地看到，tan x的导数是一个非常重要的结果，在微积分和物理学等领域有着广泛的应用。掌握这个推导过程不仅有助于加深对导数概念的理解，还能提高解决实际问题的能力。

希望这篇文章能帮助读者更好地理解和记忆tan x的导数推导过程，同时激发大家对数学的兴趣和探索精神。