【高中数学期望常用公式】在高中数学中，概率与统计是重要的组成部分，而“期望”作为概率论中的一个核心概念，在实际问题中有着广泛的应用。本文将对高中阶段常用的期望公式进行总结，并以表格形式清晰展示，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
一、期望的基本概念
期望（Expectation）是指在大量重复试验中，随机变量取值的平均结果。对于离散型随机变量 $ X $，其期望 $ E(X) $ 可表示为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
其中，$ x_i $ 是随机变量可能的取值，$ P(X = x_i) $ 是对应的概率。
二、常见分布的期望公式
以下是一些在高中数学中常见的概率分布及其对应的期望公式：
| 分布类型 | 随机变量 $ X $ 的取值 | 概率质量函数 $ P(X = x) $ | 期望 $ E(X) $ |
| 两点分布（0-1分布） | 0 或 1 | $ P(X=0) = 1-p $, $ P(X=1)=p $ | $ p $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | 0, 1, 2, ..., n | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 超几何分布 $ H(N, K, n) $ | 0, 1, ..., n | $ P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ |
| 几何分布 | 1, 2, 3, ... | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ |
| 均匀分布（离散） | 1, 2, ..., n | $ P(X=k) = \frac{1}{n} $ | $ \frac{n+1}{2} $ |
三、期望的线性性质
在处理多个随机变量的期望时，可以利用以下线性性质：
1. 常数的期望：若 $ c $ 是常数，则 $ E(c) = c $
2. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有 $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $
3. 独立变量的期望：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则 $ E(XY) = E(X)E(Y) $
四、应用举例
例题：设某次考试中，小明答对一道题的概率为 0.8，他一共做 5 道选择题，求他答对题数的期望。
解：这是一个二项分布问题，即 $ X \sim B(5, 0.8) $，则期望为：
$$
E(X) = 5 \times 0.8 = 4
$$
因此，小明答对题数的期望为 4 题。
五、总结
在高中数学中，期望的计算主要依赖于随机变量的分布类型和概率分布函数。通过掌握基本的期望公式及线性性质，可以更高效地解决实际问题。建议同学们在学习过程中结合具体题目练习，加深对期望概念的理解。
附：常用期望公式速查表
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 两点分布 | $ E(X) = p $ | 成功概率为 $ p $ |
| 二项分布 | $ E(X) = np $ | 进行 $ n $ 次独立试验，成功概率 $ p $ |
| 超几何分布 | $ E(X) = \frac{nK}{N} $ | 从 $ N $ 个元素中抽取 $ n $ 个，其中有 $ K $ 个成功 |
| 几何分布 | $ E(X) = \frac{1}{p} $ | 第一次成功发生在第 $ k $ 次试验 |
| 均匀分布 | $ E(X) = \frac{n+1}{2} $ | 取值为 1 到 $ n $ 的整数 |
通过以上内容的学习和记忆，可以帮助学生在考试中快速准确地运用期望公式，提高解题效率。
