【高中正态分布三个公式使用】在高中数学中，正态分布是一个重要的概率模型，广泛应用于统计学和实际问题分析中。正态分布的三个关键公式是：概率密度函数、标准正态分布转换公式、以及概率计算公式。掌握这三个公式，有助于我们更准确地理解和解决与正态分布相关的题目。
以下是对这三个公式的总结及使用方法：
一、正态分布的基本概念
正态分布是一种连续型概率分布，其图像呈钟形曲线，具有对称性。正态分布由两个参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。记作：
$$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $$
二、三个关键公式及其使用说明
| 公式名称 | 公式表达式 | 使用说明 |
| 1. 概率密度函数 | $ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 描述正态分布的概率密度，用于计算某一点的概率密度值。注意：该公式不能直接用于求概率，因为正态分布是连续型分布。 |
| 2. 标准正态分布转换公式 | $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ | 将任意正态分布变量X转换为标准正态分布变量Z，即Z ~ N(0, 1)。这是计算概率的基础步骤。 |
| 3. 概率计算公式 | $ P(a < X < b) = P\left(\frac{a - \mu}{\sigma} < Z < \frac{b - \mu}{\sigma}\right) $ | 利用标准正态分布表或计算器，查出对应Z值的概率，从而得到原始变量X在区间(a, b)内的概率。 |
三、使用示例
假设某次考试成绩服从正态分布 $ X \sim N(70, 10^2) $，求成绩在60到80之间的概率。
1. 转换为标准正态分布：
$$
Z_1 = \frac{60 - 70}{10} = -1,\quad Z_2 = \frac{80 - 70}{10} = 1
$$
2. 查标准正态分布表：
$$
P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
$$
3. 结论：
成绩在60到80之间的概率约为68.26%。
四、注意事项
- 正态分布的概率是通过积分计算的，不能直接用概率密度函数求概率。
- 转换时要确保正确代入均值和标准差。
- 在实际应用中，可以借助计算器或软件（如Excel、GeoGebra等）快速查找标准正态分布的累积概率。
通过理解并熟练运用这三个公式，高中生可以更好地应对与正态分布相关的考试题和实际问题，提升解题效率与准确性。
