【伽马函数常用公式】伽马函数（Gamma Function）是数学中一个重要的特殊函数，广泛应用于概率论、统计学、数论以及物理学等领域。它是阶乘概念的推广，适用于所有正实数和复数（除非正整数外）。伽马函数通常用符号 Γ(z) 表示，其定义为：
$$
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt
$$
对于正整数 n，有：
$$
\Gamma(n) = (n-1)!
$$
以下是对伽马函数的一些常用公式的总结与归纳。
一、基本性质与公式
| 公式 | 描述 |
| $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$ | 递推关系，是伽马函数的核心性质 |
| $\Gamma(1) = 1$ | 初始值，与阶乘一致 |
| $\Gamma(n) = (n-1)!$ | 当 $n$ 为正整数时，与阶乘等价 |
| $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ | 特殊值，常用于概率分布计算 |
| $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ | 欧拉反射公式，适用于复数域 |
| $\Gamma(z)\Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1 - 2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z)$ | 乘积公式，用于简化表达式 |
二、对称性与特殊值
| 公式 | 描述 |
| $\Gamma(z) \cdot \Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ | 反射公式，适用于任意复数 $z$（除非正整数） |
| $\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)$ | 对于整数 $n$，可以利用递推关系或已知值进行计算 |
| $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ | 常见的特殊值，用于高斯积分等 |
| $\Gamma(3/2) = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}$ | 由递推关系得出 |
| $\Gamma(5/2) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$ | 同样通过递推得到 |
三、与其他函数的关系
| 公式 | 描述 |
| $\Gamma(z) = \frac{1}{z} \Gamma(z+1)$ | 从递推关系导出，可用于求逆向值 |
| $\Gamma(z) = \int_0^1 (-\ln t)^{z-1} dt$ | 与对数函数相关的形式 |
| $\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$ | 无穷乘积形式，适用于复数分析 |
| $\Gamma(z) = \frac{1}{z} \cdot \Gamma(z+1)$ | 与阶乘的联系，适用于非整数情况 |
四、应用中的常见公式
| 公式 | 应用场景 |
| $\Gamma(n + a) \approx n! \cdot n^a$ | 当 $n$ 很大时，近似公式用于估算 |
| $\Gamma(z) \sim \sqrt{2\pi} z^{z - 1/2} e^{-z}$ | 斯特林公式（Stirling's approximation），用于大 $z$ 的近似 |
| $\int_0^\infty x^{k} e^{-x} dx = \Gamma(k + 1)$ | 伽马函数在积分中的直接应用 |
| $\text{Beta}(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ | 贝塔函数与伽马函数的关系 |
总结
伽马函数是一个非常强大的工具，在多个数学领域中都有广泛应用。它不仅扩展了阶乘的概念，还提供了许多有用的恒等式和性质。掌握这些常用公式，有助于更深入地理解其在实际问题中的作用，如概率密度函数、积分变换、微分方程等。
通过上述表格，可以清晰地看到伽马函数的基本性质、特殊值、对称性以及与其他函数之间的关系。合理使用这些公式，能够提高计算效率并加深对伽马函数的理解。
