【高数dy怎么求】在高等数学中，求微分 dy 是一个基础但重要的内容。无论是学习导数还是微分方程，理解如何求 dy 都是必不可少的。本文将从基本概念出发，结合实例，总结出求 dy 的常用方法，并以表格形式进行归纳。
一、基本概念
在微积分中，dy 表示函数 y = f(x) 在某一点处的微分，它与导数 dy/dx 密切相关。具体来说：
- dy = f'(x) dx
- 其中，dx 是自变量 x 的微小变化量，f'(x) 是函数 f(x) 在该点的导数值。
因此，求 dy 实际上就是求出 f'(x)，然后乘以 dx。
二、求 dy 的步骤
1. 确定函数表达式：明确所给函数的形式（如多项式、三角函数、指数函数等）。
2. 求导数 f'(x)：使用导数规则对函数进行求导。
3. 写出微分 dy：根据公式 dy = f'(x) dx 写出结果。
三、常见函数的 dy 求法总结
| 函数形式 | 导数 f’(x) | 微分 dy |
| y = x^n | n·x^{n-1} | dy = n·x^{n-1} dx |
| y = sinx | cosx | dy = cosx dx |
| y = cosx | -sinx | dy = -sinx dx |
| y = e^x | e^x | dy = e^x dx |
| y = ln x | 1/x | dy = (1/x) dx |
| y = a^x | a^x ln a | dy = a^x ln a · dx |
| y = u(x)v(x) | u’v + uv’ | dy = [u’v + uv’] dx |
| y = u(v(x)) | u’(v)·v’(x) | dy = u’(v)·v’(x) dx |
四、实例解析
例1：
设 $ y = x^3 $，求 dy。
- 求导：$ y' = 3x^2 $
- 微分：$ dy = 3x^2 dx $
例2：
设 $ y = \sin(2x) $，求 dy。
- 求导：$ y' = 2\cos(2x) $
- 微分：$ dy = 2\cos(2x) dx $
例3：
设 $ y = x^2 \cdot \ln x $，求 dy。
- 求导：$ y' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x $
- 微分：$ dy = (2x \ln x + x) dx $
五、注意事项
- 微分 dy 是关于 dx 的线性表达式，不能单独存在。
- 若题目中没有给出 dx，可直接写成 dy = f'(x) dx，或简化为 dy = f'(x) dx。
- 对于隐函数或参数方程，需使用隐函数求导法则或参数微分法。
六、总结
求 dy 的核心在于正确计算函数的导数，并将其与 dx 相乘。掌握常见的函数导数公式和求导法则，是快速准确求解 dy 的关键。通过上述表格和实例分析，可以系统地理解和应用微分的基本原理。
原创内容，非AI生成，仅供参考学习。
