【高等数学第六章微分方程公式】在《高等数学》的第六章中，我们学习了关于微分方程的基本概念、分类以及求解方法。本章内容是微积分中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。以下是对本章核心公式的总结与归纳。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 微分方程 | 含有未知函数及其导数的方程 |
| 阶数 | 方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数 |
| 通解 | 包含任意常数的解，能表示所有可能的解 |
| 特解 | 由初始条件确定的唯一解 |
| 初值问题 | 给定初始条件的微分方程问题 |
二、微分方程的分类
| 分类 | 类型 | 举例 |
| 一阶微分方程 | 只含有未知函数的一阶导数 | $ y' = f(x, y) $ |
| 可分离变量方程 | 可以写成 $ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $ | $ \frac{dy}{dx} = x y $ |
| 线性微分方程 | 形如 $ y' + P(x)y = Q(x) $ | $ y' + 2y = e^x $ |
| 全微分方程 | 存在原函数的方程 | $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ |
| 二阶线性微分方程 | 含有二阶导数的线性方程 | $ y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) $ |
三、常用解法及公式
1. 分离变量法（适用于可分离变量方程）
对于方程：
$$
\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)
$$
两边分别积分得：
$$
\int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx + C
$$
2. 线性微分方程的解法（一阶）
标准形式：
$$
y' + P(x)y = Q(x)
$$
通解公式为：
$$
y = \left( \int Q(x)\mu(x) dx + C \right) \cdot \frac{1}{\mu(x)}
$$
其中，$\mu(x)$ 是积分因子，定义为：
$$
\mu(x) = e^{\int P(x) dx}
$$
3. 二阶常系数齐次线性微分方程
标准形式：
$$
y'' + py' + qy = 0
$$
特征方程为：
$$
r^2 + pr + q = 0
$$
根据特征根的不同情况，通解如下：
| 特征根 | 通解形式 |
| 实根 $ r_1 \neq r_2 $ | $ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $ |
| 实根 $ r_1 = r_2 $ | $ y = (C_1 + C_2 x)e^{r_1 x} $ |
| 共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $ | $ y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) $ |
4. 二阶常系数非齐次线性微分方程
标准形式：
$$
y'' + py' + qy = f(x)
$$
通解为：
$$
y = y_h + y_p
$$
其中，$ y_h $ 是对应的齐次方程的通解，$ y_p $ 是一个特解。
常见非齐次项的特解形式如下：
| $ f(x) $ | 假设特解形式 |
| $ e^{ax} $ | $ Ae^{ax} $ |
| $ \sin bx $ 或 $ \cos bx $ | $ A\cos bx + B\sin bx $ |
| $ x^n $ | $ A_0 + A_1 x + \cdots + A_n x^n $ |
四、小结
第六章主要介绍了微分方程的基本概念和几种常见的解法，包括分离变量法、线性微分方程的解法、以及二阶常系数微分方程的求解方法。通过掌握这些公式和方法，可以解决许多实际问题，并为进一步学习偏微分方程打下基础。
提示：在实际应用中，应根据方程的具体形式选择合适的解法，并注意检查解的正确性。
