【高数求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要组成部分，广泛应用于函数分析、物理建模、经济优化等多个领域。掌握常见的求导公式对于学习和应用高数具有重要意义。以下是对常见高数求导公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本求导公式
1. 常数函数的导数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $（n 为实数），则
$$
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
3. 指数函数的导数
- 若 $ f(x) = a^x $，则
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
- 若 $ f(x) = e^x $，则
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数的导数
- 若 $ f(x) = \log_a x $，则
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
- 若 $ f(x) = \ln x $，则
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x $
- $ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x $
- $ \frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x $
- $ \frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x $
6. 反三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $
- $ \frac{d}{dx} \text{arccot } x = -\frac{1}{1 + x^2} $
二、求导法则
| 法则名称 | 公式表达 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、常见函数求导表
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ n x^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、注意事项
- 求导时要注意函数的定义域，特别是涉及根号、分母、对数等情况下。
- 对于复合函数，必须使用链式法则，避免遗漏中间变量的导数。
- 多项式函数的导数可逐项求导后相加，简化计算过程。
- 掌握基础导数公式后，可以通过组合和变换解决更复杂的求导问题。
通过以上内容的整理，可以系统地掌握高数中的求导公式及其应用方法。建议在实际练习中多做题、多总结，逐步提高解题能力和逻辑思维能力。
