【高数积分公式大全】在高等数学中，积分是核心内容之一，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握常见的积分公式，有助于提高解题效率和理解能力。本文将对常见的不定积分与定积分公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式（不定积分）
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a}\cos(ax) + C $ |
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a}\sin(ax) + C $ |
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $ |
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $ |
| $ \tan^2 x $ | $ \tan x - x + C $ |
| $ \cot^2 x $ | $ -\cot x - x + C $ |
三、反三角函数积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} $ | $ \text{arcsec } x + C $ |
| $ \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} $ | $ \text{arccsc } x + C $ |
四、有理函数积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{ax + b} $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ |
| $ \frac{1}{(ax + b)^n} $ | $ \frac{(ax + b)^{1-n}}{a(1 - n)} + C $（$ n \neq 1 $） | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
五、特殊函数积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 + a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
六、定积分常用公式
| 积分区间 $ [a, b] $ | 定积分公式 $ \int_a^b f(x) \, dx $ |
| $ \int_a^b 1 \, dx $ | $ b - a $ |
| $ \int_a^b x \, dx $ | $ \frac{b^2 - a^2}{2} $ |
| $ \int_a^b x^n \, dx $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） |
| $ \int_a^b \sin x \, dx $ | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \int_a^b \cos x \, dx $ | $ \sin b - \sin a $ |
七、积分技巧小结
- 换元法：适用于复合函数的积分。
- 分部积分法：适用于乘积形式的积分，如 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $。
- 三角代换：常用于含有平方根或二次项的积分。
- 部分分式分解：适用于有理函数的积分。
通过熟练掌握这些积分公式和技巧，可以更高效地解决各种积分问题。建议结合练习题反复巩固，提升实际应用能力。
