【高中数学期望公式】在高中数学中，期望是一个重要的概率概念，常用于描述随机变量的平均结果。无论是离散型还是连续型随机变量，期望都可以用来衡量其长期平均值或中心趋势。掌握期望公式的应用，有助于解决实际问题和理解概率分布的本质。
一、期望的基本概念
期望（Expected Value）是随机变量在大量重复试验中取值的平均结果。它反映了随机变量的“平均水平”。期望可以用符号 $ E(X) $ 表示，其中 $ X $ 是一个随机变量。
二、期望的计算公式
1. 离散型随机变量的期望
对于一个离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
对于一个连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望公式
以下是一些常见的概率分布及其期望公式，供高中阶段学习参考：
| 分布名称 | 随机变量X的取值范围 | 概率质量/密度函数 | 期望公式 |
| 两点分布 | 0 或 1 | $ P(X=1)=p, P(X=0)=1-p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 | 0, 1, ..., n | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 | 0, 1, 2, ... | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 | [a, b] | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ E(X) = \frac{a+b}{2} $ |
| 正态分布 | (-∞, +∞) | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
四、期望的应用举例
例如，在抛一枚硬币的实验中，设随机变量 $ X $ 表示正面出现的次数（0或1），若硬币是公平的，则 $ P(X=1) = 0.5 $，$ P(X=0) = 0.5 $，则：
$$
E(X) = 1 \times 0.5 + 0 \times 0.5 = 0.5
$$
这说明在多次实验中，平均每次抛硬币正面出现的概率为 0.5。
五、总结
期望是概率论中的一个重要概念，广泛应用于统计学、经济学、工程等领域。在高中阶段，重点掌握离散型随机变量的期望计算，并熟悉几种常见分布的期望公式。通过理解期望的意义和计算方法，可以更好地分析随机事件的平均表现，提升数学思维能力。
注：本文内容基于高中数学课程标准编写，适用于高三学生复习与巩固基础知识。
