\[

S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{99 \times 100}

\]

分析与解法

观察每一项的形式 \(\frac{1}{n(n+1)}\)，我们可以将其拆分为部分分式。具体地，有：

\[

\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

\]

利用这一性质，可以将整个和式 \(S\) 展开为：

\[

S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)

\]

消去中间项

可以看到，这是一个典型的望远镜求和问题。在展开后，大部分中间项会相互抵消，只剩下首尾两项：

\[

S = \frac{1}{1} - \frac{1}{100}

\]

计算结果

因此，最终的结果为：

\[

S = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}

\]

总结

通过部分分式分解和望远镜求和的方法，我们得到了该和式的值为 \(\frac{99}{100}\)。这种方法不仅适用于此问题，还可以推广到类似的分式求和问题中。