【高等数学极限公式】在高等数学中，极限是微积分的基础概念之一，广泛应用于函数的连续性、导数、积分以及级数等研究领域。掌握常见的极限公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。以下是对常见高等数学极限公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为其本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某点时，其极限为该点值 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数的重要极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| 6 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学常数 $e$ 的定义 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | 指数函数的一般形式 |
二、无穷小与无穷大比较
| 极限类型 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 无穷小的等价替换 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 三角函数的高阶无穷小 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2}$ | 高阶无穷小的比较 |
| 4 | $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | 对数增长慢于多项式增长 |
| 5 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = 0$（$k > 0$） | 指数增长快于多项式增长 |
三、重要极限定理
| 定理名称 | 内容 | 应用 |
| 1 | 夹逼定理 | 若 $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$，且 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，则 $\lim_{x \to a} g(x) = L$ |
| 2 | 单调有界定理 | 单调有界数列必有极限 |
| 3 | 洛必达法则 | 对于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$（若右边极限存在） |
四、常用极限技巧
1. 代数化简：如分子分母同乘共轭、因式分解等。
2. 等价无穷小替换：如 $\sin x \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$ 等。
3. 泰勒展开：将函数展开为多项式形式，便于计算极限。
4. 洛必达法则：适用于不定型极限，但需注意使用条件。
五、总结
极限是高等数学中的核心内容，理解并熟练掌握各类极限公式和求解方法，有助于提高对函数性质的认识，也为后续学习导数、积分、级数等内容打下坚实基础。在实际应用中，结合代数技巧、等价替换、泰勒展开等多种方法，可以更高效地解决复杂的极限问题。
参考文献：
- 《高等数学》教材（同济大学版）
- 《微积分及其应用》
- 《数学分析》（华东师范大学出版社）
以上内容为原创整理，旨在帮助学生系统掌握高等数学中极限相关的基础知识与应用技巧。
