【高数常见函数求导公式】在高等数学中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，不仅有助于解题效率的提升，还能加深对函数性质的理解。本文将总结一些在微积分学习中经常用到的函数求导公式，并以表格形式进行展示，方便查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数公式 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、三角函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数公式 |
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 余切函数 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| 正割函数 | $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| 余割函数 | $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数公式 | ||
| 反正弦函数 | $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| 反余弦函数 | $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| 反正切函数 | $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| 反余切函数 | $ f(x) = \text{arccot} x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| 反正割函数 | $ f(x) = \text{arcsec} x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| 反余割函数 | $ f(x) = \text{arccsc} x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、复合函数与链式法则
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- $ f(x) = \sin(2x) $ 的导数为 $ 2\cos(2x) $
- $ f(x) = (x^2 + 1)^3 $ 的导数为 $ 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $
五、其他常用导数公式
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数公式 |
| 双曲正弦函数 | $ f(x) = \sinh x $ | $ f'(x) = \cosh x $ |
| 双曲余弦函数 | $ f(x) = \cosh x $ | $ f'(x) = \sinh x $ |
| 双曲正切函数 | $ f(x) = \tanh x $ | $ f'(x) = \text{sech}^2 x $ |
| 双曲余切函数 | $ f(x) = \coth x $ | $ f'(x) = -\text{csch}^2 x $ |
结语
掌握这些常见的导数公式是学习微积分的基础。通过不断练习和应用，可以更加熟练地处理各种类型的求导问题。建议在学习过程中结合例题反复推导，逐步建立起对导数运算的直觉和理解。
