【高中复合函数求导公式】在高中数学中，复合函数的求导是一个重要的知识点，尤其是在学习导数的应用时。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如 $ y = f(g(x)) $。对于这类函数，我们通常使用“链式法则”来进行求导。
为了帮助同学们更好地理解和掌握复合函数的求导方法，以下是对常见复合函数求导公式的总结，并以表格形式呈现，便于记忆和查阅。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数嵌套组成的函数。例如：
- $ y = \sin(2x) $ 是由 $ y = \sin(u) $ 和 $ u = 2x $ 组成的复合函数。
- $ y = (3x + 1)^5 $ 是由 $ y = u^5 $ 和 $ u = 3x + 1 $ 组成的复合函数。
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
这就是所谓的链式法则。
二、常见复合函数求导公式总结
| 原函数 | 导数 | 说明 |
| $ y = \sin(u) $ | $ y' = \cos(u) \cdot u' $ | 三角函数的导数 |
| $ y = \cos(u) $ | $ y' = -\sin(u) \cdot u' $ | 三角函数的导数 |
| $ y = e^u $ | $ y' = e^u \cdot u' $ | 指数函数的导数 |
| $ y = a^u $ | $ y' = a^u \ln a \cdot u' $ | 底数为常数的指数函数 |
| $ y = \ln u $ | $ y' = \frac{1}{u} \cdot u' $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \log_a u $ | $ y' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u' $ | 底数为常数的对数函数 |
| $ y = u^n $（n为常数） | $ y' = n u^{n-1} \cdot u' $ | 幂函数的导数 |
| $ y = \tan u $ | $ y' = \sec^2 u \cdot u' $ | 正切函数的导数 |
| $ y = \cot u $ | $ y' = -\csc^2 u \cdot u' $ | 余切函数的导数 |
三、应用举例
1. 例1：求 $ y = \sin(3x) $ 的导数
解：$ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
2. 例2：求 $ y = (2x + 1)^4 $ 的导数
解：$ y' = 4(2x + 1)^3 \cdot 2 = 8(2x + 1)^3 $
3. 例3：求 $ y = e^{x^2} $ 的导数
解：$ y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} $
四、学习建议
1. 理解链式法则的本质：导数是“变化率的变化率”，链式法则帮助我们分步计算。
2. 多做练习题：通过大量练习来熟悉不同类型的复合函数及其求导方法。
3. 注意中间变量：在计算过程中，明确写出中间变量 $ u $，有助于避免出错。
通过以上总结，希望同学们能够更清晰地掌握高中阶段的复合函数求导方法，提升解题效率和准确率。
