【高数定积分公式】在高等数学中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等领域。掌握常见的定积分公式对于解题和理解积分思想具有重要意义。本文将对一些常用的高数定积分公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本定积分公式
以下是一些常见的不定积分公式，它们的导数即为被积函数：
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ (n ≠ -1) | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ (a > 0, a ≠ 1) | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
二、常见定积分计算公式
在实际应用中，我们常常需要计算从 $ a $ 到 $ b $ 的定积分，其计算方式为：
$$
\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
以下是一些常用函数在特定区间上的定积分结果：
| 函数 | 积分区间 | 定积分值 |
| $ x^n $ | [0, 1] | $ \frac{1}{n+1} $ |
| $ e^x $ | [0, 1] | $ e - 1 $ |
| $ \sin x $ | [0, π] | 2 |
| $ \cos x $ | [0, π/2] | 1 |
| $ \frac{1}{x} $ | [1, e] | 1 |
| $ \sqrt{x} $ | [0, 1] | $ \frac{2}{3} $ |
| $ x^2 $ | [0, 2] | $ \frac{8}{3} $ |
| $ \sin(2x) $ | [0, π/2] | 1 |
三、特殊函数的定积分
某些特殊函数（如三角函数、指数函数等）在对称区间上的积分有特别的性质：
| 函数 | 积分区间 | 定积分值 |
| $ \sin x $ | [-π, π] | 0 |
| $ \cos x $ | [-π, π] | 0 |
| $ \sin x $ | [0, 2π] | 0 |
| $ \cos x $ | [0, 2π] | 0 |
| $ x \sin x $ | [-π, π] | 0 |
| $ x \cos x $ | [-π, π] | 0 |
| $ x^2 $ | [-a, a] | $ \frac{2a^3}{3} $ |
| $ x^3 $ | [-a, a] | 0 |
四、换元积分法与分部积分法
在处理复杂函数时，常使用换元法或分部积分法来简化计算：
换元积分法：
设 $ u = g(x) $，则：
$$
\int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(u)\, du
$$
分部积分法：
$$
\int u\, dv = uv - \int v\, du
$$
五、总结
定积分是高等数学中的核心内容之一，熟练掌握各类函数的积分公式，有助于提高解题效率和理解数学本质。通过上述表格可以快速查阅不同函数在不同区间的积分结果，同时也了解了换元法和分部积分法的应用场景。建议在学习过程中多加练习，加深对定积分的理解与运用。
