在高等数学中，不定积分是一种基本运算，它可以帮助我们找到一个函数的原函数。今天我们要解决的问题是计算不定积分 \(\int x \arctan x \, dx\)。
解题步骤
首先，我们需要选择一种适合的方法来处理这个积分。由于被积函数包含 \(x\) 和 \(\arctan x\) 的乘积，我们可以考虑使用分部积分法。分部积分公式为：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
在这里，我们设：
\[
u = \arctan x \quad \text{和} \quad dv = x \, dx
\]
接下来，我们需要分别计算 \(du\) 和 \(v\)：
\[
du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx \quad \text{和} \quad v = \frac{x^2}{2}
\]
将这些代入分部积分公式，得到：
\[
\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} \, dx
\]
简化后，第二个积分变为：
\[
\int \frac{x^2}{2(1 + x^2)} \, dx
\]
为了进一步简化，我们将分子 \(x^2\) 表示为 \(1 + x^2 - 1\)：
\[
\int \frac{x^2}{2(1 + x^2)} \, dx = \frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{1}{1 + x^2} \right) \, dx
\]
这可以分解为两个简单的积分：
\[
\frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx
\]
第一个积分结果为：
\[
\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2}
\]
第二个积分是一个标准形式，结果为：
\[
-\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \arctan x
\]
因此，第二个积分的结果为：
\[
\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \arctan x
\]
将其代入原式，最终结果为：
\[
\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \left( \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \arctan x \right) + C
\]
整理后得到：
\[
\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C
\]
总结
通过分部积分法，我们成功地解决了不定积分 \(\int x \arctan x \, dx\)。最终结果为：
\[
\boxed{\frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C}
\]
